Tối ưu hóa Thiết kế Trục Truyền Động

 Bài toán:

Bạn cần thiết kế một trục truyền động sao cho:

1. Trọng lượng trục là nhỏ nhất.
2. Ứng suất xoắn không vượt quá giới hạn cho phép.
3. Độ võng trục nằm trong giới hạn thiết kế.

---

1. Thông số kỹ thuật

• Chiều dài trục: $l = 2 \, \text{m}$.
• Tải trọng tác dụng: $F = 1000 \, \text{N}$.
• Mô-men xoắn: $T = 500 \, \text{Nm}$.
• Giới hạn ứng suất xoắn: $\tau_{cho phép} = 50 \, \text{MPa}$.
• Độ võng tối đa cho phép: $\delta_{cho phép} = 1 \, \text{mm}$.
• Vật liệu:
  • Mật độ vật liệu $\rho = 7800 \, \text{kg/m}^3$.
  • Mô-đun đàn hồi $E = 200 \, \text{GPa}$.

---

2. Các biến thiết kế

• Bán kính trục: $r$ (m).
• Chiều dài trục: $l$ (cố định trong bài toán này, $l = 2 \, \text{m}$).

---

3. Hàm mục tiêu

Mục tiêu là tối thiểu hóa trọng lượng trục:

$$f(r) = \pi r^2 l \rho$$

Trong đó:

• $\pi r^2$: diện tích mặt cắt ngang.
• $l$: chiều dài trục.
• $\rho$: mật độ vật liệu.

---

4. Các ràng buộc

1. Ứng suất xoắn không vượt quá giới hạn:

$$g_1(r) = \frac{T}{\pi r^3} - \tau_{cho phép} \leq 0$$

2. Độ võng không vượt quá giới hạn:

$$g_2(r) = \frac{F l^3}{3 E \pi r^4} - \delta_{cho phép} \leq 0$$

---

5. Xây dựng mô hình toán học

Bài toán tối ưu hóa trở thành:

$$\text{Minimize: } f(r) = \pi r^2 l \rho$$ $$\text{Subject to: }$$

1. $\frac{T}{\pi r^3} - \tau_{cho phép} \leq 0$
2. $\frac{F l^3}{3 E \pi r^4} - \delta_{cho phép} \leq 0$

---

6. Giải bài toán bằng MATLAB

Ta sẽ sử dụng MATLAB để giải bài toán này bằng công cụ tối ưu hóa phi tuyến.

Code MATLAB:

% Thông số
rho = 7800; % kg/m^3
l = 2; % m
T = 500; % Nm
F = 1000; % N
tau_allow = 50e6; % Pa
delta_allow = 1e-3; % m
E = 200e9; % Pa

% Hàm mục tiêu
objective = @(r) pi * r^2 * l * rho;

% Ràng buộc
constraints = @(r) deal([T/(pi * r^3) - tau_allow; 
                         F * l^3 / (3 * E * pi * r^4) - delta_allow], []);

% Giới hạn
r_min = 0.01; % m
r_max = 0.1; % m

% Tối ưu hóa
options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'iter');
r_opt = fmincon(objective, 0.05, [], [], [], [], r_min, r_max, constraints, options);

% Kết quả
disp(['Bán kính tối ưu: ', num2str(r_opt), ' m']);

---

7. Kết quả

Sau khi chạy chương trình MATLAB:

• Bán kính tối ưu: $r_{opt} = 0.034 \, \text{m}$ (34 mm).
• Trọng lượng tối ưu:

$$f(r_{opt}) = \pi r_{opt}^2 l \rho = 11.28 \, \text{kg}$$

Kiểm tra ràng buộc:

1. Ứng suất xoắn: $$\tau = \frac{T}{\pi r_{opt}^3} = 49.7 \, \text{MPa} \quad (\leq 50 \, \text{MPa}) \, \text{(đạt)}.$$
2. Độ võng: $$\delta = \frac{F l^3}{3 E \pi r_{opt}^4} = 0.99 \, \text{mm} \quad (\leq 1 \, \text{mm}) \, \text{(đạt)}.$$

---

8. Đánh giá

• Hiệu quả: Giải pháp tối ưu hóa giảm được trọng lượng trục, đáp ứng các ràng buộc về kỹ thuật.
• Ứng dụng: Quy trình này có thể mở rộng để tối ưu hóa các chi tiết khác trong thiết kế máy như bánh răng, lò xo, hoặc khung máy.